MAKALAH MATEMATIKA || ALJABAR

June 22, 2019 No comments
Bab I
Pendahuluan
A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri.
Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.
Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini.
Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.
Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki peternakan itu?
Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar.
Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.

B. Perumusan Masalah
  1. Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku pembentuknya?
  2. Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar?
  3. Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar?
  4. Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar?
  5. Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar?
C. Tujuan
  1. Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk aljabar.
  2. Mengetahui asal usul mengenai aljabar.
  3. Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.
  4. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar.
  5. Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada aljabar.
 
Bab II
Pembahasan
A. 1. Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.
A.2. Suku-suku pembentuk dalam aljabar
Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada tiap-tiap suku.
Contoh:
            5x , artinya 5 adalah koefisien x
            8y , artinya 8 adalah koefisien y
            a2, artinya 1 adalah koefisien a2

Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c, …. , x, y, z.
Contoh:
            3p, artinya p adalah variabel dari 3
            4q, artinya q adalah variabel dari 4

Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.
Contoh konstanta dari operasi berikut:
            5x + 2xy2 + y – 35
Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).
           
Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau hanya konstanta.
Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.
Contoh: 5x – 2y, a + b2
Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak (polinom).
Contoh: a2 + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy2

B. Sejarah dan Asal Usul Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis buku yang berjudul “Elements”. Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.
Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslim keturunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran al-Khawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin perpustakaan khalifah.
Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.
Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh al-Khawarizmi .
Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab “al-jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti  oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10″). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x – 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
C. Menyelesaikan Operasi Aljabar
Pada dasarnya, sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, sbb:
a. Sifat Komutatif
a+b=b+a, dengan a dan b bilangan riil.
b. Sifat Asosiatif
(a+b) + c= a+ (b+c), dengan a,b dan c bilangan riil.
c. Sifat Distributif
a(a+c)=ab+ac, dengan a,b dan c bilangan riil.
  • Pengurangan pada Aljabar
    Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar
a. (4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15)
Jawab :
(4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15) = 4p² – 8p² – 10p – 10p – 5 -15
= 4p² – 20p -20
b. (10p – 8) – (8p -10)
Jawab :
10p – 8 – 8p + 10 = 2p + 2
c. 7x – 3x = 4x
d. 5pq – 3pq = 2pq
  • Penjumlahan pada Aljabar
    Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada bentuk aljabar.

    a. (10x² + 6xy – 12) + (-4x²- 2xy + 10)
    Jawab :
    10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10 = 6x2 + 4xy -2
           
            b. 7x + 3x = 10x
c. 8x2 + 5x2 = 13 x2
d. –y2 + 7y2 = 6y2

  • Perkalian Aljabar
1. Perkalian suku satu dengan suku dua
Contoh soal:
a. 2(x + 3)              c. x(y + 5)
b. –4(9 – y)             d. –9p(5p – 2q)
            Jawab:
            a. 2(x + 3) = 2x + 6
b. –4(9 – y) = –36 + 4y
c. x(y + 5) = xy + 5x
d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
2. Perkalian suku dua dengan suku dua
Contoh soal :
a. (2x + 1)2 =
b. (3x + 2)(3x + 1) =
c. (x-5)(2x-3) =
d. (x – 2)(x – 2) =

e. (x + 1)(x + 1) =

Jawab :

a. (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1

b. (3x +2)(3x + 1) = 9x2 + 3x + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 1
c.  Sesuai dengan contoh penyelesaian dibawah :

d. (x – 2)(x – 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4

e.  (x + 1)(x+1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1
  • Pembagian Aljabar
Contoh soal :

a. 3x : 3 =                                            b. 6x2 : 2x =
c. 8xyz : 4x =                                      c.   =

Jawab :

a. 3x : 3 = x

b. 6x2 : 2x = 3x

c. 8xyz : 4x = 2yz

d. 10pqr : 2p = 5qr

D. Memfaktorkan bentuk Aljabar

Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.

a. x2 + 5x + 6 =

b. 2x2 + 5x + 2 =
c. 3x2 ­- x­­ ­­– 10 =
d.  x2 – 3x + 2 =

E. Trik-trik Aljabar

Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam aljabar. Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat.

  1. 1.      Menggunakan selisih kuadrat

Contoh soal :

a. 942 – 62 = …
b. 1052 – 52 = …
c. 902 – 102 = …

Jawab :

a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 – 6) = 100 x 88 = 8.800
b. 1052 – 52 = (105 – 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000
c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 – 10) = 100 x 80 = 8.000

            Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakan selisih kuadrat agar lebih mudah.

  1. 2.      Menggunakan rumus umum

    Rumus umumnya adalah : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Contoh soal :

a. (3x + 2)2 =
b. (5x – 1)2 =
c. (9x – 3)2 =

Jawab :

a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2 ­­­­+ 12x + 4
b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1
c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9

  1. 3.      Menganalisa soal

Contoh soal :

a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika  bilangan pertama 2 kali lebih besar dari  bilangan kedua, berapakah bilangan kedua?
b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut?

Jawab :

a. a + b = 30, a = 2b
Berarti, 2b + b = 30
3b = 30, b = 10

b. X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63
Berarti, 30x = 63 -3
30x = 60 dan x = 2
Bab III
Penutupan


Kesimpulan :

Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu yang bisa menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam menyelesaikan pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.

Saran :

            Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan ilmu kepada orang lain. 

No comments :

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments ( Atom )